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每个盒子至少一个球

文章出处:未知责任编辑:admin作者:admin人气: 发表时间:2018-10-30 17:23 字体大小:【

  数学是思维的体操,很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题,以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家,希望给你带来思考的乐趣。

  甲、乙、丙三人速度比为 4:5:12,甲、乙步行,丙骑自行车,丙可带一人(带人速度不变),三人同时从A地出发,为保证最短时间同时到达B地,甲、乙步行路程比是多少?

  将5个相同的黑球和5个相同的白球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少一个球,问有多少种方法?

  这个问题需要用到排列组合中的插板法来解答。插板法可用来解决将若干相同元素分组,要求每组至少有一个元素的问题。为了让大家理解插板法的精要及应用,我们通过2个例子来说明。

  例1把5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个,问有多少种不同的放法?

  解:5个小球排成一排,小球与小球之间有4个空隙,那么问题就等价于求在4个空隙中插入2块板的方法,显然有C(4,2)=6种方法。

  解:在这个问题中,没有要求每个盒子少一个,盒子可以为空,不能直接用插板法。这个时候我们可以预先在3个盒子中各放入1个小球,则问题就等价于把8个相同小球放入3个盒子,每个盒子至少一个,有多少种不同的放法?显然有C(7,2)=21中不同的放法。

  总结一下:应用插板法解决元素分组问题必须满足三个条件:①元素必须都相同;②每组至少有一个元素;③分成的组别彼此相异。

  由于问题中有黑、白两种不同的球,我们不能直接用插板法C(9,2)来做,需要将黑白独立考虑,再用乘法原理。分三种情况来:

  ①先不考虑每个盒子至少一个球,即可以有空盒的情况。此时,将5个黑球放入共有C(7,2)=21种放法,同理将5个白球放入也有C(7,2)=21种放法,所以总共有21×21=441种放法。

  ②考虑恰有一个空盒的情况。空盒可以是3个中的任一个,有3种选法。此时,将5个黑球和5个白球放入另两盒(不考虑至少一个)共有C(6,1)×C(6,1)=36种方法,还要减去其中有一个空盒的情况,2种方法。所以总共有3×(6×6-2)=102种放法。

  则原问题的放法数等于第①种情况减去第②③种情况,即441-102-3=336种方法。

  此文选载自微信公众号好玩的数学(ID:mathfun)返回搜狐,查看更多

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